Các hằng đẳng thức thực gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng, Roy, v.v. Hãy cùng khám phá chi tiết các phương trình này trong bài viết dưới đây nhé!
Hằng đẳng thức là gì?
Trong toán học, một hằng đẳng thức có nghĩa là một loạt các đẳng thức liên quan kết hợp với nhau để tạo thành một hằng đẳng thức. Các hằng đẳng thức được sử dụng rộng rãi trong các môn toán của học sinh đại học và trung học phổ thông.
Việc ghi nhớ các hằng đẳng thức giúp chúng ta tính toán nhanh hơn, xử lý phép tính thuận tiện và hiệu quả hơn.
Đẳng Thức 7 Đẳng Thức Lớp 8 Đáng Nhớ Và Ví Dụ Minh Họa
Bình phương của 1 tổng
Công thức: (A + B)² = A² + 2AB + B
Ví dụ 1: Viết biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng: x² + 2x + 1 = x² + 2.x.1 + 1² = (x + 1)²
Bình phương của 1 hiệu
Công thức: (A – B)² = A² – 2AB + B
Ví dụ 2: Viết biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:
25a² + 4b² – 20ab = (5a)² – 2.5a.2b + (2b)² = (5a – 2b)²
Hiệu hai bình phương
Công thức: A² – B² = (A – B)(A + B)
Ví dụ 3: Viết tích của biểu thức: A = 9x² – 4 = (3x)² – 2² = (3x – 2)(3x+2)
Lập phương của 1 tổng
Công thức: (A + B)³ = A³ + 3A²B +3AB² + B
Ví dụ 4: Tính (3x + 2y)³ = (3x)³ + 3.(3x)².2y + 3.3x.(2y)² + (2y)³ = 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³
Lập phương của 1 hiệu
Công thức: (A – B)³ = A³ – 3A²B +3AB² – B³
Ví dụ 5: Tính (x – 5)³ = x³ – 3x².5 + 3x.5² – 5³ = x³ – 15x² + 75x – 125
Tổng hai lập phương
Công thức: A³ + B³ = (A + B)(A² –AB + B²)
Ví dụ 6: Viết biểu thức sau dưới dạng tích: a³ + 216 = a³ + 6³ = (a + 6)(a² – 6a + 36)
Hiệu hai lập phương
Công thức: A³ – B³ = (A – B)(A² +AB + B²)
Ví dụ 7: Tính biểu thức: 8x³ – 27 = (2x)³ – 3³ = (2x – 3)[(2x)² + 2x.3 + 3²] = (2x – 3)(4x² + 6x + 9)
Trên đây là tổng hợp công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong toán học. Ghi nhớ và vận dụng chúng để giải phương trình bậc hai, phương trình bậc hai, giải các bài toán nhân tử đa thức hay các công thức biến đổi, v.v.
Công thức cân bằng khác
Hằng đẳng thức Roy
Hằng số Roy được đặt theo tên của René Roy – một nhà kinh tế học người Pháp. Đây là công thức tính hàm cầu của Marshall bằng cách lấy đạo hàm của hàm thỏa dụng gián tiếp theo giá chia cho đạo hàm của hàm thỏa dụng gián tiếp trên thu nhập được sử dụng.
Đẳng thức về tính chất bắc cầu
Một đẳng thức là một mối quan hệ giữa hai đại lượng, hay nói chung là hai biểu thức. Khẳng định rằng hai đại lượng hoặc hai giá trị là bằng nhau, nghĩa là chúng có cùng giá trị hoặc cả hai đại diện cho cùng một đối tượng toán học.
Ta có: a = b, b = ca = c
Từ đẳng thức trên suy ra tồn tại các hằng đẳng thức sau các phép cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế với một số hoặc biểu thức nào đó:
- a = b ⇒ a + c = b + c
- a = b ⇒ a – c = b – c
- a = b ac = bc
- a = b ⇒ a/c = b/c
Hằng đẳng thức căn bậc hai
Hằng đẳng thức này được sử dụng để rút gọn hoặc tính căn bậc hai của một giá trị nhất định:
8 dạng bài tập vận dụng đẳng thức
Dạng số 1: Tính giá trị của biểu thức
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức: A = x² – 6x + 9 à x= – 1
Ta có: A = x² – 6x + 9 = x² – 2.3.x + 3² = (x – 3)²
Tại x = -1, ta có: A= (–1 – 3)² = (–4)² = 64
Vậy tại x = -1 thì A = 64.
Dạng số 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x² – 2x + 5
Ta có: B = x² – 2x + 5 = x² – 2x + 1+ 4 = (x – 1)² + 4
Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x ⇒ (x – 1)² + 4 4 (áp dụng đẳng thức bắc cầu – cộng cả hai vế với +4) hoặc B 4
Vậy Bmin = 4, dấu “=” xuất hiện khi x – 1 = 0 hoặc x = 1.
Dạng số 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Ví dụ số 3: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: C = 4x – x²
Ta có: C = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x² = 4 – (2² + 2.2.x – x²) = 4 – (2 – x)²
Vì (2 – x)² 0 với mọi x ⇒ – (2 – x)² 0 với mọi x ⇒ 4 – (2 – x)² 4 (áp dụng đẳng thức bắc cầu – cộng cả hai vế) với +4)
Vậy CMax = 4, dấu bằng xảy ra khi 2 – x = 0 hoặc x = 2.
Dạng số 4: Chứng minh đẳng thức
Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)
Đối với các dạng toán chứng minh hai biểu thức bằng nhau, biến đổi vế trái (VT) bằng vế phải (VP) hoặc VT = D và VP = D (tùy thuộc vào tính chất bắc cầu của hằng đẳng thức).
Chúng ta có:
VT = (a + b)³ – (a – b)³ = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³)
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³
= 6a²b + 2b³ = 2b(3a² + b²) = VP (đpcm)
Hình số 5: Tìm giá trị của x
Ví dụ #5: Tìm giá trị đã biết của x: x²(x – 3) – 4x + 12 = 0
Ta có: x²(x – 3) – 4(x – 3) = 0
(x² – 4) (x – 3) = 0
⇔ (x – 2)(x + 2)(x – 3) = 0
⇔ x – 2 = 0 hoặc x + 2 = 0 hoặc x – 3 = 0
⇔ Phương trình có 3 nghiệm là x = 2 hoặc x = –2 hoặc x = 3
Dạng số 6: Chứng minh bất đẳng thức
Biến đổi bất phương trình thành E ≥ 0 hoặc E ≤ 0, trong đó P là một biểu thức. Sau đó dùng các phép biến đổi E thành một trong bảy hằng đẳng thức.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng E dương với mọi giá trị của biến, biết E = x² – x + 1
Ta có: E = x² – x + 1 = x² – 2.½.x + (¼)² + ¾= (x – ½)² + ¾
Vì (x – ½)² ≥ 0 nên với mọi x nên (x – ½)² + ¾ ≥ 0 với mọi x.
Dạng số 7: Phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ số 7: Nhân tử của đa thức sau: F = x² – 4x + 4 – y²
Ta có: F = x² – 4x + 4 – y² = (x² – 2.2x + 2²) – y² = (x – 2)² – y² (Biểu thức F có dạng A2 – B2)
Vậy F = (x – 2 – y)(x – 2 + y).
Dạng số 8: Chứng minh biểu thức G không phụ thuộc vào biến
Ví dụ #8: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: G = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)
Ta có: G = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x) = x² – 2x + 1 + 3x – x² + 3 – x = 4
⇒ G = 4 là hằng số nên không phụ thuộc vào biến x.
Bài tập tự học về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài tập 1: Tìm x biết:
(x – 3)(x² + 3x + 9) + x(x + 2)(2 – x) = 0.
(x + 1)³ – (x – 1)³ – 6(x – 1)² = –10.
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức: A = (x + 2y).(x – 2y) – (x – 2y)²
Bài tập 3: Chứng tỏ rằng:
x² – 6x + 10 > 0 với mọi x
4x – x² – 5 < 0 với mọi x
Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức:
A = x² – 2x + 5
B = 2x² – 6x
C = x² + y² – x + 6x + 10
Hi vọng bài viết về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trên đây sẽ cung cấp cho bạn đọc những kiến thức bổ ích. Hãy ghi chép vào sổ tay kiến thức môn toán và vận dụng thật tốt để đạt điểm cao trong các kì thi sắp tới nhé.
Bài viết được cập nhật vào lúc:23/08/2023 @ 10:45
